Question

20．已知椭圆$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，直线l交椭圆于A，B两点，若线段AB的中点坐标为$（{\frac{1}{2}，-1}）$，则直线l的一般方程为2x-8y-9=0．

Answer 1

分析 设以点P（$\frac{1}{2}$，-1）为中点的弦与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，y₁+y₂=-2，分别把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆方程$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，再相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0，k=-$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{1}{4}$

解答 解：设以点P（$\frac{1}{2}$，-1）为中点的弦与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，y₁+y₂=-2，
分别把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆方程$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
再相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴（x₁-x₂）-4（y₁-y₂）=0，
k=-$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{1}{4}$
∴点P（$\frac{1}{2}$，-1）为中点的弦所在直线方程为y+1=$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$），
整理得：2x-8y-9=0．
故答案为：2x-8y-9=0．

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系，点差法处理中点弦问题，属于基础题．