Question

1．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（$A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．

Answer 1

分析 （1）由函数图象得A=2，$sinϕ=-\frac{1}{2}$，结合范围$|ϕ|＜\frac{π}{2}$，可求ϕ，由$f（\frac{7π}{18}）=0$，结合$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}＜\frac{7π}{18}＜\frac{2π}{ω}$，可求ω，即可得解函数解析式．
（2）由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：（1）由函数图象可得：A=2，f（0）=-1，
∴$sinϕ=-\frac{1}{2}$，
∵$|ϕ|＜\frac{π}{2}$，
∴$ϕ=-\frac{π}{6}$，
∵$f（\frac{7π}{18}）=0$，
∴$\frac{7π}{18}•ω-\frac{π}{6}=kπ（k∈Z）$，…（3分）
∴$ω=\frac{18}{7}k+\frac{3}{7}$，
∵$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}＜\frac{7π}{18}＜\frac{2π}{ω}$，
∴k=1，ω=3，…（5分）
∴$f（x）=2sin（3x-\frac{π}{6}）$．…（6分）
（2）把y=sinx（x∈R）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，可得y=sin（x-$\frac{π}{6}$）的图象；
把所得图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$倍，可得y=sin（3x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，可得y=2sin（3x+$\frac{π}{6}$）的图象．
（三步每步表述及解析式正确各2分，前面的步骤错误，后面的正确步骤分值减半）．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基础题．