Question

12．已知等比数列{a_n}满足a₂+a₃=$\frac{4}{3}$，a₁a₄=$\frac{1}{3}$，公比q＜1．
（1）求数列{a_n}的通项公式与前n项和；
（2）设b_n=$\frac{1}{2-lo{g}_{3}{a}_{n}}$，数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n，若对于任意的正整数，都有T_n＜m²-m+$\frac{3}{4}$成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的性质，a₂a₃=a₁a₄=$\frac{1}{3}$，a₂+a₃=$\frac{4}{3}$，根据公比q＜1，数列{a_n}单调递减，分别求得a₁和q，求得等比数列的通项公式；
（2）由（1）可知求得数列{b_nb_n+2}的通项公式，利用“裂项法“即可求得数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n的最大值，将T_n＜m²-m+$\frac{3}{4}$转化成$\frac{3}{4}$≤m²-m+$\frac{3}{4}$，即可求得m的取值范围．

解答 解：（1）由题设知，a₂a₃=a₁a₄=$\frac{1}{3}$，
∵a₂+a₃=$\frac{4}{3}$，q＜1，
解得：a₂=1，a₃=$\frac{1}{3}$，
q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴a₁=3，
故a_n=3×（$\frac{1}{3}$）^n-1=3^2-n，
∴数列{a_n}前n项和S_n=$\frac{3-{3}^{2-n}×\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{n-2}}$．（6分）
（2）∵b_n=$\frac{1}{2-lo{g}_{3}{a}_{n}}$=$\frac{1}{2-（2-n）}$=$\frac{1}{n}$，
∴b_nb_n+2=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=b₁b₃+b₂b₄+b₃b₅+…+b_nb_n+2，
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$
故要使T_n＜m²-m+$\frac{3}{4}$恒成立，只需$\frac{3}{4}$≤m²-m+$\frac{3}{4}$，
解得m≤0或m≥1．（12分）

点评 本题考查等比数列通项公式及前n项和公式，考查等比数列的通项公式的运用，考查“裂项法“求数列前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．