题目内容
11．已知函数f（x）=x（1-a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是[$\sqrt{2}$，+∞）．分析 依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1-a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值范围．
解答 解：∵f（x）=x（1-a|x|）+1=$\left\{\begin{array}{l}{x（1+ax）+1，x＜0}\\{x（1-ax）+1，x≥0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{{a（x+\frac{1}{2a}）}^{2}+1-\frac{1}{4a}，x＜0}\\{-{a（x-\frac{1}{2a}）}^{2}+1+\frac{1}{4a}，x≥0}\end{array}\right.$（a＞0），
∴f（x+a）=（x+a）（1-a|x+a|）+1，
∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，
在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：
∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1-a（x+a）]+1恒成立，
即x+ax2+1≥-a（x2+2ax+a2）+x+a+1，
整理得：2x2+2ax+a2-1≥0恒成立，
∴△=4a2-4×2（a2-1）≤0，
解得：a≥$\sqrt{2}$．
故答案为：[$\sqrt{2}$，+∞）．
点评 本题考查函数恒成立问题，深刻理解f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，得到x（1+ax）+1≥（x+a）[1-a（x+a）]+1恒成立是解决问题的关键，也是难点，考查作图、分析与运算能力，属于难题．
练习册系列答案
快乐小博士巩固与提高系列答案
相关题目
2．函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x2-9）的单调递增区间是（ ）
| A． | （-∞，0） | B． | （-∞，-3） | C． | （3，+∞） | D． | （-3，0） |
19．
如图，点列{An}、{Bn}分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合），若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）
如图，点列{An}、{Bn}分别在锐角两边（不在锐角顶点），且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合），若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）| A． | {dn}是等差数列 | B． | {Sn}是等差数列 | ||
| C． | {d${\;}_{n}^{2}$}是等差数列 | D． | {S${\;}_{n}^{2}$}是等差数列 |
3．把函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再把函数图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=f（x）的图象，则函数y=f（x）的图象上最高点与最低点之间的距离的最小值为（ ）
| A． | $\sqrt{{π^2}+4}$ | B． | $2\sqrt{{π^2}+1}$ | C． | $\sqrt{\frac{π^2}{4}+4}$ | D． | $\sqrt{\frac{π^2}{16}+4}$ |