Question

15．记S_n为等比数列{a_n}的前n项和．已知S₂=2，S₃=-6．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求S_n，并判断S_n+1，S_n，S_n+2是否成等差数列．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a₃=S₃-S₂=-6-2=-8，a₁=$\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}$=$\frac{-8}{{q}^{2}}$，a₂=$\frac{{a}_{3}}{q}$=$\frac{-8}{q}$，由a₁+a₂=2，列方程即可求得q及a₁，根据等比数列通项公式，即可求得{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S_n，分别求得S_n+1，S_n+2，显然S_n+1+S_n+2=2S_n，则S_n+1，S_n，S_n+2成等差数列．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，
则a₃=S₃-S₂=-6-2=-8，则a₁=$\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}$=$\frac{-8}{{q}^{2}}$，a₂=$\frac{{a}_{3}}{q}$=$\frac{-8}{q}$，
由a₁+a₂=2，$\frac{-8}{{q}^{2}}$+$\frac{-8}{q}$=2，整理得：q²+4q+4=0，解得：q=-2，
则a₁=-2，a_n=（-2）（-2）^n-1=（-2）ⁿ，
∴{a_n}的通项公式a_n=（-2）ⁿ；
（2）由（1）可知：S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{-2[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$=-$\frac{1}{3}$（2+（-2）ⁿ⁺¹），
则S_n+1=-$\frac{1}{3}$（2+（-2）ⁿ⁺²），S_n+2=-$\frac{1}{3}$（2+（-2）ⁿ⁺³），
由S_n+1+S_n+2=-$\frac{1}{3}$（2+（-2）ⁿ⁺²）-$\frac{1}{3}$（2+（-2）ⁿ⁺³）=-$\frac{1}{3}$[4+（-2）×（-2）ⁿ⁺¹+（-2）²×+（-2）ⁿ⁺¹]，
=-$\frac{1}{3}$[4+2（-2）ⁿ⁺¹]=2×[-$\frac{1}{3}$（2+（-2）ⁿ⁺¹）]，
=2S_n，
即S_n+1+S_n+2=2S_n，
∴S_n+1，S_n，S_n+2成等差数列．

点评 本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．