Question

15．已知点O在平面ABC内，若$\overrightarrow{AO}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）（λ∈R），则直线AO经过△ABC的内心．

Answer 1

分析 确定$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$的方向与∠BAC的角平分线一致，从而可得$\overrightarrow{AP}$的方向与∠BAC的角平分线一致，即可得到结论．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$、$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$分别表示$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$方向上的单位向量，
$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$的方向与∠BAC的角平分线一致，
$\overrightarrow{AO}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
∴$\overrightarrow{AP}$的方向与∠BAC的角平分线一致
∴一定通过△ABC的内心，
故答案选：内．

点评 本题主要考查向量的线性运算和几何意义，考查三角形的内心，属于中档题．