Question

3．在平面直角坐标系xoy中，直线l：x=-2交x轴于点A，设p是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP
（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标．

Answer 1

分析 （1）由于直线l：x=-2交x轴于点A，所以A（-2，0），由于P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP，可以设点P，由于满足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程；
（2）由题意及点M的轨迹E的方程为y²=4（x+1），且已知T（1，-1），又H是E 上动点，点O及点T都为定点，利用图形即可求出．

解答 解：（1）如图所示，
连接OM，则|PM|=|OM|，
∵∠MPO=∠AOP，
∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，
设M（x，y）
①当MP⊥l时，|MP|=|x+2|，
|OM|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，|x+2|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化简得y²=4x+4  （x≥-1）
②当M在x的负半轴上时，y=0（x≤-1），
综上所述，点M的轨迹E的方程为y²=4x+4（x≥-1）或y=0（x＜-1）．
（2）由题意画出图形如下：
∵由（1）知道动点M 的轨迹方程为：y²=4（x+1）．
是以（-1，0）为顶点，以O（0，0）为焦点，以x=-2为准线的抛物线，
由H引直线HB垂直准线x=-2与B点，则
利用抛物线的定义可以得到：|HB|=|HO|，
∴要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值，
由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值，
故HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为$（{-\frac{3}{4}，-1}）$．

点评 此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了利用抛物线的定义求出HO|+|HT|的最小值时等价转化的思想，属于中档题．