Question

（2013•枣庄二模）已知A，B是△ABC的两个内角，向量

a

=（

2

cos

A+B

2

，sin

A-B

2

），且|

a

|=

6

2

，则tanA•tanB=（　　）

• A．3
• B．

  1

  3

• C．-3
• D．-

  1

  3

Answer 1

分析：由题意可得 

a

2=2cos2

A+B

2

+sin2

A-B

2

=

6

4

，再利用二倍角公式化简可得 2cos（A+B）-cos（A-B）=0，再利用两角和差的三角公式化简求得cosAcosB=3sinAsinB，再由同角三角函数的基本关系求得tanA•tanB的值．

解答：解：∵A，B是△ABC的两个内角，向量

a

=（

2

cos

A+B

2

，sin

A-B

2

），且|

a

|=

6

2

，
∴

a

2=2cos2

A+B

2

+sin2

A-B

2

=

6

4

，∴1+cos（A+B）+

1-cos(A-B)

2

=

3

2

．
化简可得 2cos（A+B）-cos（A-B）=0，∴2cosAcosB-2sinAsinB-（cosAcosB+sinAsinB）=0，
∴cosAcosB=3sinAsinB，∴tanA•tanB=

1

3

，
故选B．

点评：本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，向量的模的求法，属于中档题．