Question

将圆x²+y²=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P₁，P₂，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化

专题：直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，

y

2

）在圆x²+y²=1上，求出C的方程，化为参数方程．
（Ⅱ）解方程组求得P₁、P₂的坐标，可得线段P₁P₂的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为

1

2

，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．

解答：解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，

y

2

）在圆x²+y²=1上，
∴x²+

y2

4

=1，即曲线C的方程为 x²+

y2

4

=1，化为参数方程为

x=cosθ y=2sinθ

 （0≤θ＜2π，θ为参数）．
（Ⅱ）由

x2+ y2 4 =1 2x+y-2=0

，可得

x=1 y=0

，

x=0 y=2

，不妨设P₁（1，0）、P₂（0，2），
则线段P₁P₂的中点坐标为（

1

2

，1），
再根据与l垂直的直线的斜率为

1

2

，故所求的直线的方程为y-1=

1

2

（x-

1

2

），即x-2y+

3

2

=0．
再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα-2ρsinα+

3

2

=0，
即 ρ=

3

4sinα-2cosα

．

点评：本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．