Question

13．已知数列{a_n}中，a₁=1，$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=n（n∈N^*），则a₂₀₁₆=2016．

Answer 1

分析 由$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=n（n∈N^*），可得：na_n+1=（n+1）a_n，又a₁=1，可得a_n=n．即可得出．

解答 解：∵$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=n（n∈N^*），∴na_n+1=（n+1）a_n，化为：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$=…=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，a₁=1，
∴a_n=n．
∴a₂₀₁₆=2016．
故答案为：2016．

点评 本题考查了递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．