Question

20．已知函数f（x）=${（{\frac{1}{2}}）^{\sqrt{{x^2}-4ax+8}}}$在[2，6]上单调，则a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，1]∪[3，+∞）
• B． （-∞，1]
• C． [3，+∞）
• D． [$\frac{3}{2}$，$\frac{11}{6}}$]

Answer 1

分析 令t=x²-4ax+8，则f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{t}}$，由题意可得x∈[2，6]时，t≥0，且t单调递减或单调递增，再利用指数函数、二次函数的性质，分类讨论，求得a的范围．

解答 解：令t=x²-4ax+8，则f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{t}}$，由题意可得x∈[2，6]时，t≥0，且t单调递减或单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a≥6}\\{36-24a+8≥0}\end{array}\right.$  ①，或$\left\{\begin{array}{l}{2a≤2}\\{4-8a+8≥0}\end{array}\right.$  ②，
解①求得a∈∅；解②求得a≤1，
综上可得，a≤1，
故选：B．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．