Question

1．已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3，设a＞-1，且当x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$]时，f（x）≤g（x），则a的取值范围是（-1，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 由x的范围，化简f（x）=1+a，由恒成立思想可得a≤x+2的最小值，运用一次函数的单调性，可得最小值，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：当x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=|2x-1|+|2x+a|=1-2x+2x+a=1+a，
由a＞-1，当x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$]时，f（x）≤g（x），
即为1+a≤x+3，即a≤x+2，
由x∈[-$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{2}$]，可得x+2∈[2-$\frac{a}{2}$，$\frac{5}{2}$]，
即有a≤2-$\frac{a}{2}$，解得-1＜a≤$\frac{4}{3}$．
则a的取值范围是（-1，$\frac{4}{3}$]．
故答案为：（-1，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查含绝对值函数的化简和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，及参数分离和函数的单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．