Question

6．已知AB是圆O的直径，点C在圆O上（异于点A，B），连接BC并延长至点D，使得BC=CD，连接DA交圆O于点E，过点C作圆O的切线交AD于点F．
（Ⅰ）若∠DBA=60°，求证：点E为AD的中点；
（Ⅱ）若CF=$\frac{1}{2}$R，其中R为圆C的半径，求∠DBA．

Answer 1

分析 （1）先证明出△ABD为等边三角形，再连BE，根据三线合一定理证明出点E为AD的中点；
（2）连CO，运用中位线定理证明出BE∥CF，继而证出BE=R，最后求出∠DAB．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵AB为圆O的直径，
∴AC⊥BD，而BC=CD．
∴AB=AD，而∠DBA=60°，
∴△ABD为等边三角形，连BE，由AB为圆的直径，
∴AD⊥BE，∴E为AD中点．
（Ⅱ）连CO，易知CO∥AD，
∵CF为圆O的切线，∴CF⊥CO，
∴CF⊥AD，又BE⊥AD，
∴BE∥CF，且CF=$\frac{1}{2}$BE，由CF=$\frac{1}{2}R$知BE=R，
∴∠DAB=30°．

点评 本题考查了圆的切线，等边三角形的性质，中位线定理等内容，注意适当地作出辅助线，属于中档题．