Question

18．如图，M、N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，$\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$，若$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，则x、y、z的值分别为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}$
• C． $\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$，$\frac{3}{8}$
• D． $\frac{3}{8}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 根据向量的减法和共线向量基本定理及向量加法的平行四边形法则，用向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$和$\overrightarrow{OC}$表示出向量$\overrightarrow{OP}$，即可得到x、y、z的值．

解答 解：∵M、N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）；
由$\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$，得$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OM}$=3（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$），
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OM}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{8}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{3}{8}$$\overrightarrow{OC}$，
又$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，
∴x=$\frac{1}{8}$、y=$\frac{3}{8}$、z=$\frac{3}{8}$．
故选：C．

点评 本题考查了向量的减法与平面向量基本定理，向量加法的平行四边形法则的应用问题，是基础题目．