Question

6．已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到．
（Ⅱ）由x的范围，可得2x-2x+$\frac{π}{4}$的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=sin2x+2cos²x+1
=sin2x+cos2x+2=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
则kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
则有函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
则有sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
则当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值，且为1，
当x=$\frac{π}{8}$时，f（x）取得最大值，且为$\sqrt{2}$+2．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性以及正弦函数的最值，属于中档题．