Question

已知函数f（x）=x²-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l₁，g（x-1）与x轴的交点N处的切线为l₂，并且l₁与l₂平行．
（1）求f（2）的值；
（2）已知实数t≥

1

2

，求u=xlnx，x∈[1，e]的取值范围及函数y=f（u+t）的最值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）分别求出f（x）、g（x-1）的导数，由l₁与l₂平行，得它们的斜率相等，即有切线的斜率相等，得到a的方程，解出a，即可得到f（2）；
（2）u=xlnx，当x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，则u在[1，e]单调递增，即可得到取值范围；又化简y=f（u+t）=u²+（2t-1）u+t²-t图象的对称轴u=

1-2t

2

，考虑与区间的关系抛，由t≥

1

2

有u=

1-2t

2

≤0，即函数在[0，e]上单调递增，即可得到最值．

解答： 解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x-a，
y=g（x-1）=ln（x-1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x-1）=

1

x-1

，
由题意可得l₁，l₂的斜率相等，即2a-a=

1

2-1

=1，则a=1，
∴f（x）=x²-x，f（2）=2²-2=2；
（2）u=xlnx，当x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，
∴u=xlnx在[1，e]单调递增，则u的取值范围是：0≤u≤e；
又y=f（u+t）=u²+（2t-1）u+t²-t图象的对称轴u=

1-2t

2

，抛物线开口向上，
由t≥

1

2

有u=

1-2t

2

≤0，即函数在[0，e]上单调递增；    
y_min=y|_u=0=t²-t，ymax=e2+(2t-1)e+t2-t，
综上：当t≥

1

2

时，ymin=t2-t；ymax=e2+(2t-1)e+t2-t．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查运用导数判断单调性，以及应用单调性求最值，同时考查两直线的位置关系以及运算能力，属于中档题．