Question

17．已知函数f（x）=lnx+$\frac{ax}{x-1}$
（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）对所有的a≥$\frac{1}{2}$，m∈（0，1），n∈（1，+∞），求f（n）-f（m）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a的不等式组，解出即可；
（2）求出f（x）的单调区间，得到x₁x₂=1，x₁+x₂=a+2，x₂-x₁=$\sqrt{{a}^{2}+4a}$以及x₁，x₂，代入f（n）-f（m）的表达式即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1}{{x（x-1）}^{2}}$，
由题意得x²-（a+2）x+1=0在x＞0且x≠1有2个不同实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+2}{2}＞0}\\{{（a+2）}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$且1-（a+2）+1≠0
解得：a＞0；
（2）由于1-（a+2）+1=-a＜0，
∴由（1）可得g（x）=x²-（a+2）x+1在（0，1），（1，+∞）各有1个零点，
设为x₁，x₂，且函数f（x）在（0，x₁）递增，在（x₁，1）递减，在（1，x₂）递减，在（x₂，+∞）递增，
∴f（n）-f（m）≥f（x₂）-f（x₁）=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+a$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}-{（x}_{1}{+x}_{2}）+1}$，
∵x²-（a+2）x+1=0的两个根是x₁，x₂，
∴x₁x₂=1，x₁+x₂=a+2，x₂-x₁=$\sqrt{{a}^{2}+4a}$，
x₁=$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，x₂=$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
代入得：ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+a$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}-{（x}_{1}{+x}_{2}）+1}$=ln$\frac{{（a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}）}^{2}}{4}$+$\sqrt{{a}^{2}+4a}$，
当a=$\frac{1}{2}$时取最小值ln4+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．