Question

5．函数y=$\frac{2x-1}{x+1}$（x＞0）的值域为（-1，2），函数f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$在（-∞，-1）上是减函数，则a的取值范围是a＜-1．

Answer 1

分析 确定y=$\frac{2x-1}{x+1}$=2-$\frac{3}{x+1}$在（0，+∞）单调递增，即可求出函数y=$\frac{2x-1}{x+1}$（x＞0）的值域；根据题意可y=-$\frac{a+1}{x+1}$，在（-∞，-1）上是减函数，y=$\frac{a+1}{x+1}$，在（-∞，-1）上是增函数，可得a+1＜0，由此求得a的范围．

解答 解：y=$\frac{2x-1}{x+1}$=2-$\frac{3}{x+1}$在（0，+∞）单调递增，
∴函数y=$\frac{2x-1}{x+1}$（x＞0）的值域为（-1，2）；
∵函数f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$=a-$\frac{a+1}{x+1}$，在（-∞，-1）上是减函数，
∴y=-$\frac{a+1}{x+1}$，在（-∞，-1）上是减函数，∴y=$\frac{a+1}{x+1}$，在（-∞，-1）上是增函数，
∴a+1＜0，求得a＜-1，
故答案为：（-1，2）；a＜-1．

点评 本题考查了运用函数的单调性求解函数的值域，关键是变形，判断单调性，难度不大．