Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}+{log_4}x，x≥1\\{2^{-x}}-\frac{1}{4}，x＜1\end{array}$．
（Ⅰ）证明：f（x）≥$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{3}{4}$，求x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数的解析式，通过x的范围，分别求解函数的最小值即可证明f（x）≥$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）利用分段函数通过f（x₀）=$\frac{3}{4}$，列出方程求解求x₀的值．

解答 证明：（Ⅰ）当x＜1时，由于$f（x）={2^{-x}}-\frac{1}{4}$是减函数
∴$f（x）＞f（1）=\frac{1}{4}$…（3分）
当x≥1时，由于$f（x）=\frac{1}{4}+{log_4}x$是增函数，
∴$f（x）≥f（1）=\frac{1}{4}$…（6分）
∴$f（x）≥\frac{1}{4}$…（7分）
解：（Ⅱ）当x₀＜1时，由于$f（{x_0}）={2^{-{x_0}}}-\frac{1}{4}$，
∵$f（{x_0}）=\frac{3}{4}∴{x_0}=0$…（10分）
当x₀≥1时，由于$f（{x_0}）=\frac{1}{4}+{log_4}{x_0}$
∵$f（{x_0}）=\frac{3}{4}∴{x_0}=2$…（13分）
x₀=0或x₀=2…（14分）

点评 本题考查分段函数的应用，分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．