Question

18．已知函数f（x）=（x-1）²+a（lnx-x+1）（其中a∈R，且a为常数）
（Ⅰ）当a=4时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若方程f（x）+a+1=0在x∈（1，2）上有且只有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数和函数的单调性的关系即可求出，
（Ⅱ）分类讨论，确定函数的单调性，从而解得；
（Ⅲ）依题意，设g（x）=f（x）+a+1，原题即为若g（x）在（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围．显然函数g（x）与f（x）的单调性是一致的，根据函数的单调性，当a＜0，即可得到可知$\left\{\begin{array}{l}g（1）=a+1＜0\\ g（2）=f（2）+a+1＞0\end{array}\right.$，解得即可，当a≥0，判断此时方程没有实根，问题得以解决．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
由$f'（x）=2（{x-1}）+a（{\frac{1}{x}-1}）=\frac{{（{x-1}）（{2x-a}）}}{x}$，
当a=4时，$f'（x）=\frac{{2（{x-1}）（{x-2}）}}{x}$，
∴函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，（2，+∞）在上单调递增；
（Ⅱ）由$f'（x）=2（{x-1}）+a（{\frac{1}{x}-1}）=\frac{{（{x-1}）（{2x-a}）}}{x}$
当a≤2时，
∵f'（x）＞0对于x∈（1，+∞）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增
∴f（x）＞f（1）=0，此时命题成立；
当a＞2时，
∵f（x）在$（{1，\frac{a}{2}}）$上单调递减，在$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上单调递增，
∴当$x∈（{1，\frac{a}{2}}）$时，有f（x）＜f（1）=0．这与题设矛盾，不合．
故a的取值范围是（-∞，2]；
（Ⅱ）依题意，设g（x）=f（x）+a+1，
原题即为若g（x）在（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围．
显然函数g（x）与f（x）的单调性是一致的．
当a≤0时，因为函数g（x）在（1，2）上递增，
由题意可知$\left\{\begin{array}{l}g（1）=a+1＜0\\ g（2）=f（2）+a+1＞0\end{array}\right.$，
解得$-\frac{2}{ln2}＜a＜-1$；
当a＞0时，因为g（x）=（x-1）²+alnx+（2-x）a+1，
当x∈（1，2）时，总有g（x）＞0，此时方程没有实根．
综上所述，当$-\frac{2}{ln2}＜a＜-1$时，方程f（x）+a+1=0在x∈（1，2）上有且只有一个实根．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题