Question

1．已知函数f（x）=e^x+2ax．
（l）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为0，求a的值；
（3）若对于任意x≥0，f（x）≥e^-x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 本题属于导数综合题，属难题．（1）对a分类讨论，判断f'（x）是否存在零点．若存在零点，根据f'（x）判断f（x）的单调性；
（2）根据第1题的分类讨论情况，判断f（x）的最小值点；然后根据f（x）_min=0，求出a的值；
（3）此题属于导数恒成立问题，通常采购构造新函数来求解．

解答 解：（1）当a≥0时，函数f'（x）=e^x+2a＞0，f（x）在R上单调递增；
当 a＜0 时，f'（x）=e^x+2a，
令 e^x+2a=0，得x=ln（-2a），
所以，当x∈（-∞，ln（-2a））时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（ln（-2a），+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
（2）由（1）可知，当a≥0时，函数f（x）=e^x+2ax＞0，不符合题意．
当a＜0时，f'（x）=e^x+2a，
因为，当x∈（-∞，ln（-2a））时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（ln（-2a），+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
①当ln（-2a）≤1，即$-\frac{e}{2}$≤a＜0时，f（x）最小值为f（1）=2a+e．
解2a+e=0，得a=-$\frac{e}{2}$，符合题意．
②当ln（-2a）＞1，即a＜-$\frac{e}{2}$时，f（x）最小值为f（ln（-2a））=-2a+2aln（-2a）．
解-2a+2aln（-2a）=0，得a=-$\frac{e}{2}$，不符合题意．
综上，a=-$\frac{e}{2}$．
（3）构建新函数g（x）=e^x-e^-x+2ax，g'（x）=e^x+e^-x+2a，
①当 2a≥-2，即 a≥-1时，
因为 e^x+e^-x≥2，所以g'（x）≥0（且a=-1时，仅当x=0时，g'（x）=0）
所以g（x）在R上单调递增．
又g（0）=0，所以当a≥-1时，对于任意x≥0都有g（x）≥0．
②当a＜-1时，解e^x+e^-x+2a＜0，即（e^x）²+2ae^x+1＜0，
得-a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$＜e^x＜$-a+\sqrt{{a}^{2}-1}$，
其中0＜-a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$＜1，-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$＞1
所以ln（-a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$）＜x＜ln（-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$），
且ln（-a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$）＜0，ln（-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$）＞0，
所以g（x）在（0，ln（-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$））上单调递减，
又g（0）=0，所以存在x₀∈（0，ln（-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$）），使得g（x₀）＜0，不符合题意．
综上，a的取值范围为[-1，+∞）．

点评 本题属于导数综合题，考查利用导函数判断函数单调性，函数极值点，分类讨论思想，构造新函数，属难题．此类题型重点考查函数分类讨论思想与导数基本知识点，考生应当熟练掌握．