题目内容

9．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．如图所示，求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．

分析 设所需时间为t小时，在点B处相遇则可求得AB和BC，进而利用余弦定理建立等式求得t，从而可得结论．

解答 解：设所需时间为t小时，…（1分）
则AB=21t，BC=9t．…（2分）
又已知AC=10，依题意知，∠ACB=120°，…（3分）
根据余弦定理，AB2=AC2+BC2-2•AC•BCcos∠ACB．…（5分）
∴（21t）2=102+（9t）2-2×10×9tcos 120°，…（6分）
∴（21t）2=100+81t2+90t，
即360t2-90t-100=0．…（8分）
∴t=$\frac{2}{3}$或t=-$\frac{5}{12}$（舍）．…（10分）
∴AB=21×$\frac{2}{3}$=14（海里）．…（11分）
即“黄山”舰需要用$\frac{2}{3}$小时靠近商船，共航行14海里．…（12分）

点评 本题主要考查了解三角形的实际应用，考查余弦定理，属于中档题．

练习册系列答案
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4．已知函数f（x）=$|\begin{array}{l}{\sqrt{3}co{s}^{2}x}&{-sinx}\\{cosx}&{1}\end{array}|$．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的值域；
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．
20．已知cos（α+$\frac{π}{4}}$）=$\frac{3}{5}$，$\frac{π}{2}$≤α＜$\frac{3π}{2}$，则sin2α=（　　）
A．$-\frac{4}{5}$B．$\frac{4}{5}$C．$-\frac{7}{25}$D．$\frac{7}{25}$
17．探究函数f（x）=2x+$\frac{8}{x}$，x∈（0，+∞）最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
x…0.511.51.71.922.12.22.33457…
y…17108.348.18.0188.018.048.088.61011.615.14…
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＞0）在区间（0，2）上递减；函数f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＞0）在区间（2，+∞）上递增．当x=2时，y最小=8．
（2）证明：函数f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＞0）在区间（0，2）递减．
（3）思考：函数f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＜0）时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
4．若不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{2x+y≤2}\\{y≥0}\\{x+y≤a}\end{array}\right.$，表示的平面区域是一个三角形区域，则a的取值范围是（　　）
A．a≥$\frac{4}{3}$B．0＜a≤1C．1≤a≤$\frac{4}{3}$D．0＜a≤1或a≥$\frac{4}{3}$
14．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）=mx-$\frac{1}{3}$恰有四个不等的实数根，则实数m的取值范围是（$\frac{1}{3}$，${e}^{-\frac{2}{3}}$） ．
1．有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为$\frac{1}{3}$．
18．下列命题中：
①“?x0∈R，x02-x0+1≤0”的否定；
②“若x2+x-6≥0，则x＞2”的否命题；
③命题“若x2-5x+6=0，则x=2”的逆否命题；
其中真命题的个数是（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
19．等比数列{an}中，公比q=2，a1+a4+a7…+a97=11，则数列{an}的前99项的和S99=（　　）
A．99B．88C．77D．66

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