Question

2．设数列{a_n}各项为正数，且a₂=4a₁，a_n+1=${a}_{n}^{2}$+2a_n（n∈N^*）
（I）证明：数列{log₃（1+a_n）}为等比数列；
（Ⅱ）令b_n=log₃（1+a_2n-1），数列{b_n}的前n项和为T_n，求使T_n＞345成立时n的最小值．

Answer 1

分析 （I）由a₂=4a₁，a_n+1=${a}_{n}^{2}$+2a_n（n∈N^*），可得a₂=4a₁，a₂=${a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$，解得a₁，a₂．由于a_n+1+1=${a}_{n}^{2}$+2a_n+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，两边取对数可得：log₃（1+a_n+1）=2log₃（1+a_n），即可证明．
（II）由（I）可得：log₃（1+a_n）=2^n-1，可得b_n=log₃（1+a_2n-1）=2^2n-2=4^n-1，可得数列{b_n}的前n项和为T_n，代入化简即可得出．

解答 （I）证明：∵a₂=4a₁，a_n+1=${a}_{n}^{2}$+2a_n（n∈N^*），
∴a₂=4a₁，a₂=${a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$，解得a₁=2，a₂=8．
∴a_n+1+1=${a}_{n}^{2}$+2a_n+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
两边取对数可得：log₃（1+a_n+1）=2log₃（1+a_n），
∴数列{log₃（1+a_n）}为等比数列，首项为1，公比为2．
（II）解：由（I）可得：log₃（1+a_n）=2^n-1，
∴b_n=log₃（1+a_2n-1）=2^2n-2=4^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
不等式T_n＞345，
化为$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$＞345，即4ⁿ＞1036．
解得n＞5．
∴使T_n＞345成立时n的最小值为6．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．