Question

19．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC₁⊥平面ABC，BC=CA=AC₁．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面AB₁C₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥B₁C₁．AC₁⊥AC．利用直线与平面垂直的判定定理证明AC⊥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）说明∠AOC₁为直线A₁B与平面AB₁C₁所成角，设BC=CA=AC₁=a，直角三角形AC₁O中，求解直线A₁B与平面AB₁C₁所成角的余弦值即可．

解答 （Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
所以BC∥B₁C₁．
又因为∠ACB=90°，所以AC⊥B₁C₁．…（3分）
因为AC₁⊥平面ABC，所以AC₁⊥AC．…（6分）
因为AC₁∩B₁C₁=C₁，所以AC⊥平面AB₁C₁．…（7分）
（Ⅱ）解：因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC∥A₁C₁，
又由（Ⅰ）知，AC⊥平面AB₁C₁，所以A₁C₁⊥平面AB₁C₁．…（10分）
设A₁B交AB₁于点O，所以∠AOC₁为直线A₁B与平面AB₁C₁所成角．…（12分）
设BC=CA=AC₁=a，
直角三角形AC₁O中，$O{C_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，${A_1}O=\frac{{\sqrt{6}}}{2}a$．…（14分）
因此，$cos∠{A_1}O{C_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，故直线A₁B与平面AB₁C₁所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（15分）

点评 本题考查直线与平面存在的判定定理的应用，直线与市场价的求法，考查计算能力以及转化思想的应用．