Question

己知集合A={l，2，3，…，2n}，（n∈N*），对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，则称S具有性质P．
（1）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}是否一定具有性质P？并说明理由．
（2）当n=2014时，
①若集合S具有性质P，那么集合T={4029-x|x∈S}是否一定具有性质P？说明理由；
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．

Answer 1

考点：子集与交集、并集运算的转换,元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：（1）对于任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中的两个元素b₁=10，b₂=10+m，使|b₁-b₂|=m，这便得出集合B不具有性质P，根据性质P的定义可判断集合C具有性质P；
（2）容易判断出集合T⊆A，因为S具有性质P，所以存在不大于2014的正整数m，使得S中任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，这样便可得到，对于集合T中任意一对元素t₁=4029-x₁，t₂=4029-x₂，使得|t₁-t₂|≠m，所以集合C具有性质P，要求集合S元素个数的最大值，只需把含最多元素的集合S找出来即可．

解答： 解：（1）当n=10时，A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}；
∵对于任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b₁=10，b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立；
∴集合B不具有性质P；
集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}具有性质P；
∵可取m=1＜10，对于集合C中任意一对元素c1=3k1-1，c2=3k2-1，k1，k2∈N*；
都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1；
即集合C具有性质P；
（2）当n=2014时，A={1，2，3，…，4027，4028}；
①若集合S具有性质P，则集合T={4029-x|x∈S}一定具有性质P：
任取t=4029-x₀∈T，x₀∈S；
∵S⊆A，∴x₀∈{1，2，3，…，4028}；
∴1≤4029-x₀≤4028，即t∈A，∴T⊆A；
由S具有性质P知，存在不大于2014的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m；
对于上述正整数m，从集合T中任取一对元素t₁=4029-x₁，t₂=4029-x₂，x₁，x₂∈S，都有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|≠m；
∴集合T具有性质P；
②设集合S有k个元素，由①知，若集合S具有性质P，那么集合T={4029-x|x∈S}一定具有性质P；
任给x∈S，1≤x≤4028，则x与4029-x中必有一个不超过2014；
∴集合S与T中必有一个集合中至少存在一个元素不超过2014；
不妨设S中有t（t≥

k

2

）个元素b₁，b₂，…，b_t不超过2014；
由集合S具有性质P知，存在正整数m≤2014，使得S中任意两个元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m；
∴一定有b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∉S；
又b_t+m≤2014+2014=4028，故b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∈A；
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，∴k+

k

2

≤k+t≤4028，所以k+

k

2

≤4028，解得k≤2685；
当S={1，2，…，1342，1343，2687，…，4027，4028}时：
取m=1343，则易知对集合S中任意两个元素y₁，y₂，都有|y₁-y₂|≠1343；
即集合S具有性质P，而此时集合S中有2685个元素；
∴集合S元素个数的最大值是2685．

点评：考查集合与元素的概念，子集的概念，以及对于新概念的理解与应用能力．