Question

4．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，侧面BCC₁B₁⊥底面ABCD，B₁C=CD=2，BB₁=2$\sqrt{2}$．
（1）求证：平面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁CD．
（2）求直线BD₁与平面A₁B₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出CD⊥CB，CD⊥B₁C，由此能证明CD⊥平面BCC₁B₁，从而平面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁CD．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD₁与平面A₁B₁CD所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，侧面BCC₁B₁⊥底面ABCD，
∴CD⊥CB，∵侧面BCC₁B₁∩底面ABCD=BC，∴CD⊥侧面BCC₁B₁，
∵B₁C?侧面BCC₁B₁，∴CD⊥B₁C，
又DC⊥BC，B₁C∩BC=C，∴CD⊥平面BCC₁B₁，
∵CD?平面A₁B₁CD，∴平面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁CD．
解：（2）∵B₁C=CD=2，BB₁=2$\sqrt{2}$，底面ABCD是正方形，
∴BC=CD=2，BC²+B₁C²=BB₁²，∴BC⊥B₁C，
∵侧面BCC₁B₁⊥底面ABCD，∴B₁C⊥底面ABCD，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，2，0），D₁（-2，0，2），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-4，-2，2），
平面A₁B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设直线BD₁与平面A₁B₁CD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{24}•1}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直线BD₁与平面A₁B₁CD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．