Question

7．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．设向量$\overrightarrow{m}$=（a，b），$\overrightarrow{n}$=（sinB，sinA），$\overrightarrow{p}$=（b-2，a-2）．
（Ⅰ） 若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，求证：△ABC为等腰三角形；
（Ⅱ） 已知c=2，C=$\frac{π}{3}$，若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{p}$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）给出两向量平行，再利用正弦定理，就可得到两边相等，即可得到是等腰三角形；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{p}$，可得x₁x₂+y₁y₂=0，再利用余弦定理可求ab的值，结合C的值，即可求出△ABC的面积S．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）证明：∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，向量$\overrightarrow{m}$=（a，b），$\overrightarrow{n}$=（sinB，sinA），
∴asinA=bsinB，…3分
由正弦定理可得：a²=b²，即a=b，
∴△ABC为等腰三角形…5分
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{p}$，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，可得：a+b=ab①，…7分
又∵c=2，C=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，可得：a²+b²-ab=4，…9分
∴（a+b）²-3ab=4，把①代入可得：（ab）²-3ab-4=0，解得：ab=4，或-1．（舍去），
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$．…12分

点评 本题主要考查了判断或证明三角形的形状，一般利用正弦定理或者余弦定理进行判断，考查了求三角形的面积，一般利用两边夹一角的方式来求，求出相邻两边的乘积和这两边夹角的正弦函数值，在利用面积公式即可求出三角形的面积，属于中档题．