Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长是1，E，F分别是AB，BC的中点，H是DD₁的中点．
（1）证明：EF∥平面A₁C₁H；
（2）过H作出平面A₁C₁FE的垂线段，垂足为G，求HG的长．

Answer 1

分析 （1）证明EF∥A₁C₁，利用线面平行的判定定理证明：EF∥平面A₁C₁H；
（2）连接BD，与EF交于N，连接B₁D₁，与A₁C₁交于M，则EF⊥平面B₁D，作HG⊥MN，则HG⊥平面A₁C₁FE，求出HG即可．

解答 （1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
∵A₁C₁∥AC，
∴EF∥A₁C₁，
∵EF?平面A₁C₁H，A₁C₁?平面A₁C₁H，
∴EF∥平面A₁C₁H；
（2）解：连接BD，与EF交于N，连接B₁D₁，与A₁C₁交于M，
则EF⊥平面B₁D，
∵EF?平面A₁C₁FE，
∴平面A₁C₁FE⊥平面B₁D，
作HG⊥MN，则HG⊥平面A₁C₁FE．
梯形DD₁MN中，DD₁=1，MD₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DN=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，MN=$\sqrt{1+\frac{1}{8}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
设HG=y，MG=x，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{3}{4}}\\{（\frac{3\sqrt{2}}{8}-x）^{2}+{y}^{2}=（\frac{5\sqrt{2}}{8}）^{2}}\end{array}\right.$，∴HG=y=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．