Question

10．已知在直角坐标系中（O为坐标原点），$\overrightarrow{OA}$=（2，5），$\overrightarrow{OB}$=（3，1），$\overrightarrow{OC}$=（x，3）．
（1）若A、B、C共线，求x的值；
（2）当x=6时，直线OC上存在点M，且$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C共线，即$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$共线，利用向量共线定理即可得出．
（2）$\overrightarrow{OM}$与$\overrightarrow{OC}$共线，故设$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OC}$=（6λ，3λ）．又$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，可得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0．即45λ²-48λ+11=0，解得$λ=\frac{1}{3}$或$λ=\frac{11}{15}$．即可得出．

解答 解：（1）∵A、B、C共线，即$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$共线，
而$\overrightarrow{AB}$=（1，-4），$\overrightarrow{BC}$=（x-3，2），则有1×2+4×（x-3）=0．
即x的值是x=$\frac{5}{2}$．
（2）∵$\overrightarrow{OM}$与$\overrightarrow{OC}$共线，故设$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OC}$=（6λ，3λ）．
又∵$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0．
即45λ²-48λ+11=0，解得$λ=\frac{1}{3}$或$λ=\frac{11}{15}$．
∴$\overrightarrow{OM}$=（2，1）或$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{22}{5}，\frac{11}{5}$）．
∴点M坐标为（2，1）或（$\frac{22}{5}，\frac{11}{5}$）．

点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．