Question

9．设函数f（x）=2x+x|x-a|．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥2；
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤1+2x²恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入得不等式2（x-1）+x|x-1|≥0，对x进行分类讨论去绝对值，最后求并集即可；
（2）不等式可整理为2-（x+$\frac{1}{x}$）≤a≤$\frac{1}{x}$+3x-2，只需求出左式的最大值和右式的最小值即可，根据函数的单调性可得答案．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=2x+x|x-1|，
∴2（x-1）+x|x-1|≥0，
当x-1=0时，成立，x=1，
当x-1＞0时，x＞1，
当x-1＜0时，x≤-2，
故解集为（-∞，-2]∪[1，+∞）；
（2）x∈[1，2]时，2x+x|x-a|≤1+2x²恒成立，
∴|x-a|≤$\frac{1}{x}$+2x-2恒成立，
∴-（$\frac{1}{x}$+2x-2）≤x-a≤$\frac{1}{x}$+2x-2，
∴2-（x+$\frac{1}{x}$）≤a≤$\frac{1}{x}$+3x-2，
∴0≤a≤2．

点评 考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题．