Question

15．如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED（E在C，D之间），求证：∠CBE=∠BDE．

Answer 1

分析 由已知条件由切割线定理得CA²=CE•CD，利用C为线段AB的中点推导出BC²=EC•DC，得到△BCE∽△DCB，利用三角形相似的性质得到证明．

解答 证明：∵直线AB，直线CDE分别是⊙O的切线和割线，
∴由切割线定理得CA²=CE•CD，
∵C为线段AB的中点
∴BC²=CA²，
∴BC²=CE•CD，
在△BCE和△DCB中，$\frac{BC}{DC}=\frac{CE}{BC}$
∵∠BCE=∠DCB，
∴△BCE∽△DCB，
∴∠CBE=∠BDE．

点评 本题考查三角形相似和切割线定理的合理运用；属于中档题．