Question

12．已知f（x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x）-m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）=（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $-\frac{4}{5}$
• D． $-\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 由题意可得 m=2sinα+cosα=2sinβ+cosβ，即 2sinα-2sinβ=cosβ-cosα，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求．

解答 解：∵α、β是函数 g（x）=2sinx+cosx-m在（0，π）内的两个零点，
即α、β是方程2sinx+cosx=m在（0，π）内的两个解，
∴m=2sinα+cosα=2sinβ+cosβ，即 2sinα-2sinβ=cosβ-cosα，
∴2×2×cos$\frac{α+β}{2}$ sin$\frac{α-β}{2}$=-2sin$\frac{α+β}{2}$sin$\frac{β-α}{2}$，∴2cos$\frac{α+β}{2}$=sin$\frac{α+β}{2}$，
∴tan$\frac{α+β}{2}$=2，∴cos（α+β）=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{1-4}{1+4}$=-$\frac{3}{5}$，
故选：D．

点评 本题考查函数方程的转化思想，函数零点问题的解法，考查三角函数的恒等变换，同角基本关系式的运用，属于中档题．