题目内容
已知曲线C：x2+
=1，直线l：kx-y-k=0，O为坐标原点．
（1）若该曲线的离心率为
，求该的曲线C的方程；
（2）当a=-1时，直线l过定点M且与曲线C相交于两点M，N，试问在曲线C上是否存在点Q使得
+
=λ
？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
| y2 |
| a |
（1）若该曲线的离心率为
| ||
| 2 |
（2）当a=-1时，直线l过定点M且与曲线C相交于两点M，N，试问在曲线C上是否存在点Q使得
| OM |
| ON |
| OQ |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）若焦点在x轴上，结合离心率，求出a，得到椭圆C的方程；若焦点在y轴上，利用离心率求出a得到椭圆的方程．
（2）通过直线l与曲线C都恒过定点（1，0），M（1，0），联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，假设存在满足条件的Q，利用
+
=λ
，推出λ与k的关系式，然后求解λ的范围即可．
（2）通过直线l与曲线C都恒过定点（1，0），M（1，0），联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，假设存在满足条件的Q，利用
| OM |
| ON |
| OQ |
解答：
解：（1）曲线C：x2+
=1，该曲线的离心率为
，
若焦点在x轴上，则
=
，解得a=
．
椭圆C：x2+4y2=1；…（3分）
若焦点在y轴上，则
=
，解得a=2，
椭圆C：x2+
=1；…（6分）
（2）由题：直线l与曲线C都恒过定点（1，0），M（1，0）；…（7分）
⇒(k2-1)x2-2k2x+k2+1=0，可得x=
，y=
，…（9分）
假设存在满足条件的Q，
+
=λ
?
，代入曲线C可得
(xQ2-yQ2)=1⇒λ2=(
)2-(
)2=
=4+
＞4，…（13分）
所以：λ＜-2或λ＞2满足条件．…（14分）
| y2 |
| a |
| ||
| 2 |
若焦点在x轴上，则
| ||
| 1 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 4 |
椭圆C：x2+4y2=1；…（3分）
若焦点在y轴上，则
| ||
|
| ||
| 2 |
椭圆C：x2+
| y2 |
| 2 |
（2）由题：直线l与曲线C都恒过定点（1，0），M（1，0）；…（7分）
|
| k2+1 |
| k2-1 |
| 2k |
| k2-1 |
假设存在满足条件的Q，
| OM |
| ON |
| OQ |
|
| 1 |
| λ2 |
| 2k2 |
| k2-1 |
| 2k |
| k2-1 |
| 4k2 |
| k2-1 |
| 4 |
| k2-1 |
所以：λ＜-2或λ＞2满足条件．…（14分）
点评：本题考查椭圆的求法，直线与椭圆的综合应用，存在性问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．
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| A、a＞b＞c |
| B、c＞b＞a |
| C、a＞c＞b |
| D、b＞c＞a |
双曲线2x2-y2=1的离心率为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|