Question

6．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）与抛物线y²=2px（p＞0）有相同的焦点F，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点M（-3，t），|MF|=$\frac{{\sqrt{153}}}{2}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 利用抛物线的焦点坐标，准线方程及M点坐标，即可求得p的值，根据勾股定理即可求得t的值，代入渐近线方程，求得a与b的关系，求得双曲线的离心率公式．

解答 解：由题意可知：抛物线y²=2px（p＞0）焦点坐标F（$\frac{p}{2}$，0），准线方程x=-$\frac{p}{2}$，
由M在抛物线的准线上，则-$\frac{p}{2}$=-3，则p=6，则焦点坐标为F（3，0），
∴|MF|=$\sqrt{（-3-3）^{2}+{t}^{2}}$=$\frac{{\sqrt{153}}}{2}$，则t²=$\frac{9}{4}$，解得：t=±$\frac{3}{2}$，
双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，将M代入渐近线方程，$\frac{3}{2}$=3×$\frac{b}{a}$，
即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故选C．

点评 本题考查双曲线及抛物线的简单几何性质，考查勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题．