Question

（本小题满分13分）如图，已知抛物线，过焦点F任作一条直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）．

（Ⅰ）证明：动点在定直线上；

（Ⅱ）点P为抛物线C上的动点，直线为抛物线C在P点处的切线，求点Q（0，4）到直线距离的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）解决直线和抛物线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论；（2）点Q到直线距离的最小值，应先根据题意设出点，再由已知条件求出直线方程，由点到直线的距离公式，可得到一个参数方程，利用基本不等式或函数单调性求出最值即可

试题解析：（1）【解析】
依题意，F（0，1），易知AB的斜率存在，设AB的方程为．代入得，即．设，则， 2分

直线AO的方程为；BD的方程为；解得交点D的坐标为， 4分

注意到及，则有，

因此，D点在定直线上． 6分

（Ⅱ）设为曲线上一点，因为，所以的斜率为，因此直线的方程为，即． 8分

则Q（0，4）点到的距离， 10分

所以

当时取等号，所以O点到距离的最小值为． 13分

考点：（1）直线与抛物线的综合问题（2）求最小值.