Question

5．设函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2mlnx（m∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点是x₁，x₂，过点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直线的斜率为k，问是否存在m使得k=2-2m？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，结合二次函数的性质判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；
（2）假设存在，根据x₁+x₂=2m，x₁x₂=1，得到消元得$ln\frac{1}{x_2}-ln{x_2}=\frac{1}{x_2}-{x_2}$，根据f（x）的单调性判断函数无零点，得出结论即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），
$f'（x）=\frac{{{x^2}-2mx+1}}{x^2}$，令h（x）=x²-2mx+1，
△=4m²-4=4（m²-1），
当△＞0即m＞1或m＜-1时，方程h（x）=0有两个根，
设方程x²-2mx+1=0的两根是：x₁，x₂，且x₁＜x₂，
解得：x₁=m-$\sqrt{{m}^{2}-1}$，x₂=m+$\sqrt{{m}^{2}-1}$，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=1，
当△≤0时，即m∈[-1，1]时，f′（x）≥0，原函数在定义域上单调递增，
当m＜-1时，△＞0，两根均为负，f（x）在定义域上单调递增，
当m＞1时，△＞0，两根均为正，
故f（x）在区间（0，m-$\sqrt{{m}^{2}-1}$），（m+$\sqrt{{m}^{2}-1}$，+∞）递增，在（m-$\sqrt{{m}^{2}-1}$，m+$\sqrt{{m}^{2}-1}$）递减；
（2）由（1）知函数有两个极值点时m＞1且x₁+x₂=2m，x₁x₂=1
AB斜率$k=\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=2-2m\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
若k=2-2m，则$\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=1$，
两根均为正且x₁x₂=1，若x₁＜x₂，则x₁＜1，x₂＞1，
消元得$ln\frac{1}{x_2}-ln{x_2}=\frac{1}{x_2}-{x_2}$，
整理得x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$-2lnx₂=0，
由（1）知$f（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx$在区间（1，+∞）上单调递增，
因此f（x）＞f（1）=0，函数没有零点，
故这样的m值不存在．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．