Question

10．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当-1≤x≤0时，f（x）=-x²，若直线y=-x+m与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数m的值为（　　）

• A． 2k-$\frac{1}{4}$（k∈Z）
• B． 2k+$\frac{1}{4}$（k∈Z）
• C． 2k或2k-$\frac{1}{4}$（k∈Z）
• D． 2k或2k+$\frac{1}{4}$（k∈Z）

Answer 1

分析 根据条件求出函数的周期是2，以及一个周期上的解析式，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）=f（x）．
∴函数的周期是2，
若0≤x≤1，则-1≤-x≤0，
则f（-x）=-x²，
∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=-x²=f（x），
即f（x）=-x²，0≤x≤1，
作出函数f（x）的图象如图：
作出直线y=-x+m，
在一个周期[-1，1]内，当直线经过点（1，-1）时，两个函数有两个交点，此时m=0，
当直线与y=-x²相切时，两个函数有两个交点，
由-x²=-x+m得x²-x+m=0，
由判别式△=0，即1-4m=0，
得m=$\frac{1}{4}$，
∵函数的周期是2k，
∴m=2k或2k+$\frac{1}{4}$（k∈Z），
故选：D．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的周期性，以及利用数形结合是解决本题的关键．