Question

已知（2+

x

2

）ⁿ展开式中的第五、第六、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．

Answer 1

分析：问题的关键在于求n，n确定后，可由二项式系数的性质确定项．

解答：解：由于第五、第六、第七项的二项式系数成等差数列可得
C_n⁴+C_n⁶=2C_n⁵建立关于n的方程得

n(n-1)(n-2)(n-3)

4！

+

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)

6！

=2•

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

5！

，
化简得n²-21n+98=0，
解得n=14或7，
当n=14时，二项式系数最大的项是T₈，
其系数为C₁₄⁷•2⁷•（

1

2

）⁷=3432；
当n=7时，
二项式系数最大的项是T₄和T₅，T₄的系数为C₇³•2⁴（

1

2

）³=70，T₅的系数为C₇⁴•2³（

1

2

）⁴=

35

2

．

点评：在（2+

x

2

）ⁿ的展开式中，每一项的系数与它的二项式系数是不同的．求解中若不注意这一点，就会产生错误．
利用方程的观点建立关于n的方程是二项式系数应用的一大特点，求解时注意：是求二项式系数最大的系数，而不是求二项式系数．