Question

7．已知A，B是半径为$2\sqrt{3}$的球面上的两点，过AB作互相垂直的两个平面α、β，若α，β截该球所得的两个截面的面积之和为16π，则线段AB的长度是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 设过AB作互相垂直的两个平面α、β截该球所得的两个截面圆分别为圆O₁，O₂，半径分别为r₁，r₂，球半径为R，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{R}^{2}=O{{O}_{1}}^{2}+{{r}_{1}}^{2}}\\{{R}^{2}=O{{O}_{2}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$，⇒$O{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{2}}^{2}=2{R}^{2}-（O{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{2}}^{2}$）
由$π{{r}_{1}}^{2}+π{{r}_{2}}^{2}=16π$⇒${{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}=16$
由OH²=$O{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{2}}^{2}$=8，得AB=2$\sqrt{{R}^{2}-O{H}^{2}}=4$

解答 解：如图所示：设过AB作互相垂直的两个平面α、β截该球所得的两个截面圆分别为圆O₁，O₂，半径分别为r₁，r₂，球半径为R，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{R}^{2}=O{{O}_{1}}^{2}+{{r}_{1}}^{2}}\\{{R}^{2}=O{{O}_{2}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$，⇒$O{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{2}}^{2}=2{R}^{2}-（{{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}）$
又因为α，β截该球所得的两个截面的面积之和为16π，∴$π{{r}_{1}}^{2}+π{{r}_{2}}^{2}=16π$⇒${{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}=16$
∴，$O{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{2}}^{2}=2{R}^{2}-（{{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}）$=2×$（2\sqrt{3}）^{2}-16=8$．
∵OH²=$O{{O}_{1}}^{2}+O{{O}_{2}}^{2}$=8，∴AB=2$\sqrt{{R}^{2}-O{H}^{2}}=4$
故选：D

点评 本题考查了球的性质，把空间问题转化为平面问题是解题的关键，属于中档题，