Question

15．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6x+6，x≥0}\\{3x+4，x＜0}\end{array}\right.$，若互不相等的实数x₁，x₂，x₃，满足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则x₁•x₂•x₃的取值范围是（-21，0）．

Answer 1

分析 先作出函数函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6x+6，x≥0}\\{3x+4，x＜0}\end{array}\right.$的图象，如图，不妨设x₁＜x₂＜x₃，则x₂，x₃关于直线x=2对称，得到x₂x₃，且x₁位于图中线段AB上，从而有：-$\frac{7}{3}$＜x₁＜0；最后结合求得x₁x₂x₃的取值范围即可．

解答 解：先作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6x+6，x≥0}\\{3x+4，x＜0}\end{array}\right.$的图象，如图，
不妨设x₁＜x₂＜x₃，则x₂，x₃关于直线x=3对称，
故x₂•x₃=9，
且x₁位于图中线段AB上，故x_B＜x₁＜x_A即-$\frac{7}{3}$＜x₁＜0；
则x₁x₂x₃的取值范围是：-$\frac{7}{3}$•9＜x₁x₂x₃＜0•9；
即x₁x₂x₃∈（-21，0）．
故答案为：（-21，0）．

点评 本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．