Question

11．设抛物线C：y²=2px（p＞0）过点$M（2，-2\sqrt{2}）$．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）作相互垂直的两条直线l₁，l₂，曲线C与l₁交于点P₁，P₂，与l₂交于点Q₁，Q₂．证明：$\frac{1}{{|{{P_1}{P_2}}|}}+\frac{1}{{|{{Q_1}{Q_2}}|}}=\frac{1}{4}$；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，我们得到关于抛物线的一个优美结论．请你写出关于椭圆$Γ：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的一个相类似的结论（不需证明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把点$M（2，-2\sqrt{2}）$代入抛物线方程得p=2，即可得到抛物线方程．
（Ⅱ）直线l₁，l₂的斜率存在且不等于0，不妨设l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程，利用韦达定理弦长公式，求解证明：$\frac{1}{{|{{P_1}{P_2}}|}}+\frac{1}{{|{{Q_1}{Q_2}}|}}=\frac{k^2}{{4{k^2}+4}}+\frac{1}{{4{k^2}+4}}=\frac{1}{4}$．
（Ⅲ）若l₁，l₂是过椭圆$Γ：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的焦点且相互垂直的两条直线，其中椭圆Γ与l₁交于点P₁，P₂，与l₂交于点Q₁，Q₂，写出$\frac{1}{{|{{P_1}{P_2}}|}}+\frac{1}{{|{{Q_1}{Q_2}}|}}=\frac{7}{12}$．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）把点$M（2，-2\sqrt{2}）$代入抛物线方程得p=2
所以曲线C的方程为y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）证明：显然直线l₁，l₂的斜率存在且不等于0，
不妨设l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（{x-1}）\end{array}\right.$得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由韦达定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$，x₁x₂=1，…（5分）
因为曲线C与l₁交于点P₁，P₂且l₁过焦点F（1，0），
所以|P₁P₂|=x₁+x₂+2=$\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}+2$=$\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}$，…（7分）
同理可得$|{{Q_1}{Q_2}}|=\frac{{4{{（{-\frac{1}{k}}）}^2}+4}}{{{{（{-\frac{1}{k}}）}^2}}}$=4+4k²，…（8分）
所以$\frac{1}{{|{{P_1}{P_2}}|}}+\frac{1}{{|{{Q_1}{Q_2}}|}}=\frac{k^2}{{4{k^2}+4}}+\frac{1}{{4{k^2}+4}}=\frac{1}{4}$．…（9分）
（Ⅲ）若l₁，l₂是过椭圆$Γ：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的焦点且相互垂直的两条直线，其中椭圆Γ与l₁交于点P₁，P₂，与l₂交于点Q₁，Q₂，则$\frac{1}{{|{{P_1}{P_2}}|}}+\frac{1}{{|{{Q_1}{Q_2}}|}}=\frac{7}{12}$．…（12分）
说明：（只写出$\frac{1}{{|{{P_1}{P_2}}|}}+\frac{1}{{|{{Q_1}{Q_2}}|}}为$定值，没有指出定值为$\frac{7}{12}$扣1分）

点评 本题考查圆锥曲线方程的综合应用，直线与椭圆位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．