Question

（理科）定义在R上的函数f(x)=

x+b

ax2+1

(a，b∈R，a≠0)是奇函数，当且仅当x=1时，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）若方程f(x)+

mx

1+x

=0在区间(-1，1)上有且仅有两个不同实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）得b=0，通过对x的分段讨论求出函数的最大值，根据已知条件得到关于a的方程，求出a的值．
（2）将f（x）代入方程并将方程变形，将方程根的情况转换为二次方程的实根分布问题，结合二次函数的图象写出限制条件，求出m的范围．

解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）得b=0
∴f(x)=

x

ax2+1

又由函数f（x）的定义域为R知a≥0

当x≤0时，f(x)≤0 当x＞0时，f(x)= x ax2+1 ≤ x 2 ax2 = 1 2 a

当且仅当ax²=1即x=

1 a

时f(x)取得最大值
∴

1 a

=-即a=1
综上a=1，b=0…（6分）
（2）由

x

x2+1

+

mx

x+1

=0化简得

x(mx2+x+m+1)=0 ∴x=0或mx2+x+m+1=0 若0是方程mx2+x+m+1=0，则m=-1 此时方程mx2+x+m+1=0的另一根为x=1，不合题意

∴方程mx²+x+m+1=0在区间（-1，1）上有且仅有一个非零实根．
当m=0时，x=-1不合题意当m≠0时，分两种情况讨论
①△=0，x=

1

2m

∈(-1，1)得m=

-1- 2

2

②令h（x）=mx²+x+m+1则h（-1）•h（1）＜0且h（0）≠0解得-1＜m＜0
综上所述实数m的取值范围为(-1，0)∪{

-1- 2

2

}…（13分）

点评：本题考查二次方程的实根分布问题，应该结合二次函数的图象，从对称轴与区间的位置关系、区间端点值的符号限制．