Question

11．?x∈R，使不等式|x-2|+|x-4|≤2$\sqrt{2}$sinα成立，则α的取值范围为2kπ+$\frac{π}{4}$≤α≤2kπ+$\frac{3π}{4}$（k∈Z）．

Answer 1

分析 由绝对值三角不等式可得|x-2|+|x-4|的最小值，利用?x∈R，使不等式|x-2|+|x-4|≤2$\sqrt{2}$sinα成立，可得sinα≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即可求出α的取值范围．

解答 解：由绝对值三角不等式可得|x-2|+|x-4|≥|x-2-x+4|=2，
∵?x∈R，使不等式|x-2|+|x-4|≤2$\sqrt{2}$sinα成立，
∴2$\sqrt{2}$sinα≥2，
∴sinα≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2kπ+$\frac{π}{4}$≤α≤2kπ+$\frac{3π}{4}$（k∈Z）．
故答案为：2kπ+$\frac{π}{4}$≤α≤2kπ+$\frac{3π}{4}$（k∈Z）．

点评 本题考查绝对值三角不等式的运用，考查三角不等式，考查学生分析解决问题的能力正确求出|x-2|+|x-4|的最小值是关键．