题目内容
13．设数列{an}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（an+2-an+1）-（an+1-an）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[$\frac{2016}{{a}_{1}}$+$\frac{2016}{{a}_{2}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$]=2015．分析 构造bn=an+1-an，可判数列{bn}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得an=n（n+1），裂项相消法可得答案．
解答 解：构造bn=an+1-an，则b1=a2-a1=4，
由题意可得（an+2-an+1）-（an+1-an）=bn+1-bn=2，
故数列{bn}是4为首项2为公差的等差数列，
故bn=an+1-an=4+2（n-1）=2n+2，
故a2-a1=4，a3-a2=6，a4-a3=8，…，an-an-1=2n，
以上n-1个式子相加可得an-a1=$\frac{（n-1）（4+2n）}{2}$，解得an=n（n+1），
故$\frac{2016}{{a}_{1}}$+$\frac{2016}{{a}_{2}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$=2016（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$）
=2016（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=2016-$\frac{2016}{2017}$，
∴[$\frac{2016}{{a}_{1}}$+$\frac{2016}{{a}_{2}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$]=2015，
故答案为：2015．
点评 本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的判定和累加法以及裂项相消法求和，属中档题．
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| A． | $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1 | B． | $\frac{9{x}^{2}}{4}$-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1 | ||
| C． | $\frac{9{x}^{2}}{4}$-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1和$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1或$\frac{9{x}^{2}}{4}$-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1 |
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| A． | $-\frac{1}{2}$ | B． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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