Question

19．已知m∈R，p：?x₀∈R，x₀²+2（m-3）x₀+1＜0，q：?x∈R，4x²+4（m-2）x+1＞0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．

Answer 1

分析 利用二次函数的性质与判别式的关系、不等式的解法可分别化简命题p，q．由p∨q为真，p∧q为假，可得p、q一真一假，即可得出．

解答 解：命题p：$?{x_0}∈R，{x_0}^2+2（m-3）{x_0}+1＜0$，对于函数y=x²+2（m-3）x+1，△=4（m-3）²-4＞0，∴m＞4或m＜2，即p：m＞4或m＜2若4x²+4（m-2）x+1＞0恒成立．
命题q：对于函数y=4x²+4（m-2）x+1，△=16（m-2）²-16＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3．
∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假．
当p真q假时，由$\left\{\begin{array}{l}m＞4或m＜2\\ m≥3或m≤1\end{array}\right.$，得m＞4或m≤1；
当p假q真时，由$\left\{\begin{array}{l}2≤m≤4\\ 1＜m＜3\end{array}\right.$，得2≤m＜3．
综上，m的取值范围是{m|m＞4或m≤1或2≤m＜3}．

点评 本题考查了二次函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．