Question

求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程．

 

Answer 1

（x－1）2＋（y－3）2＝9或（x＋1）2＋（y＋3）2＝9.

【解析】

试题分析：因为圆心在直线上,可设圆心坐标为,然后再根据圆C和轴相切可得r=|3a|,直线上截得的弦长为利用弦长公式可得r与a的另一个关系式，两式联立可求

出a,b，r的值，从而得到圆C的方程.

试题解析：解法一:设所求的圆的方程是（x－a）2＋（y－b）2＝r2，

则圆心到直线的距离为

所以，即2r2＝（a－b）2＋14 ①

由于所求的圆与x轴相切，所以r2＝b2 ②

又因为所求圆心在直线3x－y＝0上，则3a－b＝0 ③

联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.

故所求的圆的方程是（x－1）2＋（y－3）2＝9或（x＋1）2＋（y＋3）2＝9.

解法二:设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，

半径为 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，

由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F ④

又圆心到直线的距离为

由已知，得，

即（D－E）2＋56＝2（D2＋E2－4F） ⑤

又圆心在直线3x－y＝0上，则3D－E＝0 ⑥

联立④⑤⑥，解得D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1.

故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0，或x2＋y2＋2x＋6y.

考点：圆的方程的求法.