题目内容
如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；
（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；
（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．
（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD?面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为直角梯形ABCD中，AC=2
| 2 |
| 2 |
所以AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，
又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；…（4分）
（Ⅱ）解法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，则在△PCE中，FG∥CE，
又EC?平面ACE，FG?平面ACE，所以FG∥平面ACE，
因为BC∥AD，所以
| BO |
| OD |
| GE |
| ED |
又OE?平面ACE，BG?平面ACE，所以BG∥平面ACE，
又BG∩FG=G，所以平面BFG∥平面ACE，
因为BF?平面BFG，所以BF∥平面ACE．…（10分）
解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，
连接FD交CE于H，连接OH，则FG∥CE，
在△DFG中，HE∥FG，则
| GE |
| ED |
| FH |
| HD |
| 1 |
| 2 |
在底面ABCD中，BC∥AD，所以
| BO |
| OD |
| BC |
| AD |
| 1 |
| 2 |
所以
| FH |
| HD |
| BO |
| OD |
| 1 |
| 2 |
所以BF∥平面ACE．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，
在Rt△PCD中，CD=2
| 2 |
| PA2+AD2 |
| 5 |
所以sin∠DPC=
| CD |
| PD |
2
| ||
2
|
| ||
| 5 |
所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为
| ||
| 5 |
练习册系列答案
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