Question

4．如图所示，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE=3，圆O的直径CE为9．
（1）求证：CD⊥面AED；
（2）求三棱锥D-ABE的体积．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥AE，CD⊥AD即可得出CD⊥平面ADE；
（2）利用勾股定理计算正方形的边长，代入体积公式V_D-ABE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•AB$计算即可．

解答 证明：（1）∵AE⊥⊙O，CD?⊙O，
∴AE⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD
又AD∩AE=A，AD?平面ADE，AE?平面ADE，
∴CD⊥面AED．
解：（2）连接AC，设正方形ABCD的边长为a，则AC=$\sqrt{2}$a，
又AC²=CE²+AE²=90，∴a=3$\sqrt{5}$．
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=6，
∵CD⊥面AED，AB∥CD，∴AB⊥面ADE，
∴${V_{D-ABE}}={V_{B-ADE}}=\frac{1}{3}AB•{S_{△ADE}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×6×3\sqrt{5}=9\sqrt{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．