Question

20．已知函数f（x）=|ax-1|-（a-1）x
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；
（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 （1）化为分段函数，再解不等式即可，
（2）①）当a≥1②当0＜a＜1③当a≤0三种情况，画出f（x）=|ax-1|与g（x）=（a-1）x的图象，利用图象确定有无交点．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=|$\frac{1}{2}$x-1|+$\frac{1}{2}$x=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x≥2}\\{1，x＜2}\end{array}\right.$，
∵f（x）＞1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞1}\\{x≥2}\end{array}\right.$，
解得x＞2，
故x的取值范围为（2，+∞），
（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，
 ①当a≥1时，f（x）=|ax-1|与g（x）=（a-1）x的图象：

两函数的图象恒有交点，
②当0＜a＜1时，f（x）=|ax-1|与g（x）=（a-1）x的图象：

要使两个图象无交点，斜率满足：a-1≥-a，
∴a≥$\frac{1}{2}$，故$\frac{1}{2}$≤≤a＜1
③当a≤0时，f（x）=|ax-1|与g（x）=（a-1）x的图象：

两函数的图象恒有交点，
综上①②③知：$\frac{1}{2}$≤a＜1
故答案为：（2，+∞），[$\frac{1}{2}$，1）

点评 本题主要考查函数图象的运用，如果函数的图象能画出，结合图象解题形象而直观，属于中档题．