题目内容

19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cost\\ y=2sint+a\end{array}\right.$（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1和C2共有四个不同交点，求a的取值范围．

分析 （Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）由于两方程表示的曲线均关于y轴对称，所以只要关于y的方程有两个大于0的不等实根，即代表两个曲线有4个不同交点，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为x2+（y-a）2=4，表示一个以（0，a）为圆心，2为半径的圆；
曲线C2的极坐标方程可化为ρ2cos2θ=ρsinθ，故对应的直角坐标方程为y=x2．
（Ⅱ）将两方程联立得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{（y-a）^2}=4\\ y={x^2}\end{array}\right.$得y2+（1-2a）y+（a2-4）=0，
由于两方程表示的曲线均关于y轴对称，所以只要关于y的方程有两个大于0的不等实根，
即代表两个曲线有4个不同交点，因此有$\left\{\begin{array}{l}{a^2}-4＞0\\ 1-2a＜0\\△={（1-2a）^2}-4（{a^2}-4）＞0\end{array}\right.$
解得$2＜a＜\frac{17}{4}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．

练习册系列答案
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